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实数是什么?

归档日期:06-27       文本归类:多项式有界      文章编辑:爱尚语录

  数学上,实数定义为与数轴上的实数,点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数,实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。实数和虚数共同构成复数。

  实数可以用来测量连续的量。理论上,任何实数都可以用无限小数的方式表示,小数点的右边是一个无穷的数列(可以是循环的,也可以是非循环的)。

  在实际运用中,实数经常被近似成一个有限小数(保留小数点后 n 位,n为正整数)。在计算机领域,由于计算机只能存储有限的小数位数,实数经常用浮点数来表示。

  实数集是不可数的,也就是说,实数的个数严格多于自然数的个数(尽管两者都是无穷大)。这一点,可以通过康托尔对角线方法证明。由于实数集中只有可数集个数的元素可能是代数数,绝大多数实数是超越数。

  实数集构成一个度量空间:x和y间的距离定为绝对值(x-y),作为一个全序集,它也具有序拓扑。这里,从度量和序关系得到的拓扑相同。实数集又是 1 维的可缩空间(所以也是连通空间)、局部紧致空间、可分空间、贝利空间。

  实数构成了最大的阿基米德域,即所有其他的阿基米德域都是R的子域。这样R是“完备的”是指,在其中加入任何元素都将使它不再是阿基米德域。这个完备性的意思非常接近用超实数来构造实数的方法,即从某个包含所有(超实数)有序域的纯类出发,从其子域中找出最大的阿基米德域。

  实数,是有理数和无理数的总称。数学上,实数定义为与数轴上的实数,点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数,实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。实数和虚数共同构成复数。

  实数可以分为有理数和无理数两类,或代数数和超越数两类。实数集通常用黑正体字母R表示。R表示n维实数空间。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。

  在公元前500年左右,以毕达哥拉斯为首的希腊数学家们认识到有理数在几何上不能满足需要,但毕达哥拉斯本身并不承认无理数的存在。 直到17世纪,实数才在欧洲被广泛接受。18世纪,微积分学在实数的基础上发展起来。1871年,德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。

  根据日常经验,有理数集在数轴上似乎是“稠密”的,于是古人一直认为用有理数即能满足测量上的实际需要。以边长为1厘米的正方形为例,其对角线有多长?在规定的精度下(比如误差小于0.001厘米),总可以用有理数来表示足够精确的测量结果(比如1.414厘米)。

  但是,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家发现,只使用有理数无法完全精确地表示这条对角线的长度,这彻底地打击了他们的数学理念,他们原以为:

  实数集对加、减、乘、除(除数不为零)四则运算具有封闭性,即任意两个实数的和、差、积、商(除数不为零)仍然是实数。

  实数集是有序的,即任意两个实数a、b必定满足并且只满足下列三个关系之一:a<b,a>b,a=b。

  R实数集具有稠密性,即两个不相等的实数之间必有另一个实数,既有有理数,也有无理数。

  展开全部无理数和有理数统称为实数。例如:-3,0,√2,-2√7,1.3,1/9.........

  数学上,实数与数轴上的点一一对应;反过来说,数轴上的每个点都有一个实数与之对应。

  2. 正整数中,包括有奇数和偶数。奇数记为:2n-1;偶数记为:2n(其中,n为大于等于1的自然数)。

  包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数,有理数就包括整数和分数。数学上,实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。

  举个简单例子:√-1在实数范围内是不存在的(负数的开二次方),但是为了满足某种需要,我们给i或j定义成√-1,这就是虚数的单位了,类似于实数范围内的“1”。

  既然我们给出了√-1的表示方法,那么我们便能定义更多的数了,例如2+i、√i这些具有a+bi形式的数,我们可以看出,当b=0的时候,这些具有a+bi形式的数便是我们所说的实数了,所以实数被比它更广泛的“复数”所包含,【是现实生活中,能体现出来的实实在在的数,包括有理数和无理数】(其中无理数就是无限不循环小数,有理数就包括整数和分数)(虚数的引进是为了工程或者科学上的需要)。

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