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为什么一个有理系数多项式写成一个有理数乘以本原多项式方式是唯

归档日期:05-31       文本归类:多项式有界      文章编辑:爱尚语录

  在数学中,多项式(polynomial)是指由变量、系数以及它们之间的加、减、乘、指数(正整数次)运算得到的表达式。[1]

  对于比较广义的定义,1个或0个单项式的和也算多项式。按这个定义,多项式就是整式。实际上,还没有一个只对狭义多项式起作用,对单项式不起作用的定理。0作为多项式时,次数定义为负无穷大(或0)。单项式和多项式统称为整式。

  泰勒多项式的精神便在于以多项式逼近一个平滑函数,此外闭区间上的连续函数都可以写成多项式的均匀极限。

  应用高斯引理可证,如果一个整系数多项式可以分解为两个次数较低的有理系数多项式的乘积,那么它一定可以分解为两个整系数多项式的乘积。这个结论可用来判断有理系数多项式的不可约性。关于Q[x]中多项式的不可约性的判断,还有艾森斯坦判别法:对于整系数多项式,如果有一个素数p能整除αn-1,αn-2,…,α1,α0,但不能整除αn,且p?2不能整除常数项α0,那么?(x)在Q上是不可约的。由此可知,对于任一自然数n,在有理数域上xn-2是不可约的。因而,对任一自然数n,都有n次不可约的有理系数多项式。

  F[x]中任一个次数不小于 1的多项式都可以分解为F上的不可约多项式的乘积,而且除去因式的次序以及常数因子外,分解的方法是惟一的。

  当F是复数域C时,根据代数基本定理,可证C[x]中不可约多项式都是一次的。因此,每个复系数多项式都可分解成一次因式的连乘积。

  当F是实数域R时,由于实系数多项式的虚根是成对出现的,即虚根的共轭数仍是根,因此R[x]中不可约多项式是一次的或二次的。所以每个实系数多项式都可以分解成一些一次和二次的不可约多项式的乘积。实系数二次多项式αx2+bx+с不可约的充分必要条件是其判别式b2-4αс0。

  当F是有理数域Q时,情况复杂得多。要判断一个有理系数多项式是否不可约,就较困难。应用本原多项式理论,可把有理系数多项式的分解问题化为整系数多项式的分解问题。一个整系数多项式如其系数是互素的,则称之为本原多项式。每个有理系数多项式都可表成一个有理数及一个本原多项式的乘积。关于本原多项式有下述重要性质。

  有限的单项式之和称为多项式。不同类的单项式之和表示的多项式,其中系数不为零的单项式的最高次数,称为此多项式的次数。

  多项式的加法,是指多项式中同类项的系数相加,字母保持不变(即合并同类项)。多项式的乘法,是指把一个多项式中的每个单项式与另一个多项式中的每个单项式相乘之后合并同类项。

  F上x1,x2,…,xn的多项式全体所成的集合Fx【1,x2,…,xn】,对于多项式的加法和乘法成为一个环,是具有单位元素的整环。

  若 ?x和exo是Fx中的两个多项式,且exo不等于0,则在F[x]中有唯一的多项式 q(x)和r(x),满足?(x)=q(x)g(x)+r(x),其中r(x)的次数小于g(x)的次数。此时q(x) 称为g(x)除?(x)的商式,r(x)称为余式。当g(x)=x-α时,则r(x)=?(α)称为余元,式中的α是F的元素。此时带余除法具有形式?(x)=q(x)(x-α)+?(α),称为余元定理。g(x)是?(x)的因式的充分必要条件是g(x)除?(x)所得余式等于零。如果g(x)是?(x)的因式,那么也称g(x) 能整除?(x),或?(x)能被g(x)整除。特别地,x-α是?(x)的因式的充分必要条件是?(α)=0,这时称α是?(x)的一个根。

  如果d(x)既是?(x)的因式,又是g(x)的因式,那么称d(x)是?(x)与g(x)的一个公因式。如果d(x)是?(x)与g(x)的一个公因式,并且?(x)与g(x)的任一个因式都是d(x)的因式,那么称d(x)是?(x)与g(x)的一个最大公因式。如果?(x)=0,那么g(x)就是?(x)与g(x)的一个最大公因式。当?(x)与g(x)全不为零时,可以应用辗转相除法来求它们的最大公因式。

  已知一元多项式环F[x][2] 中两个不等于零的多项式?(x)与g(x),用g(x)除?(x)得商式q1(x)、余式r1(x)。若r1(x)=0,则g(x)就是?(x)与g(x)的一个最大公因式。若 r1(x)≠0,则用 r1(x)除 g(x)得商式q2(x)、余式r2(x)。若r2(x)=0,则r1就是?(x)与g(x)的一个最大公因式。否则,如此辗转相除下去,余式的次数不断降低,经有限s次之后,必有余式为零次(即零次多项式)或余式为零(即零多项式)。若最终余式结果为零次多项式,则原来f(x)与g(x)互素;若最终余式结果为零多项式,则原来f(x)与g(x)的最大公因式是最后一次带余除法的是除式。

  利用辗转相除法的算法,可将?(x)与g(x)的最大公因式rs(x)表成?(x)和g(x)的组合,而组合的系数是F上的多项式。

  如果?(x)与g(x)的最大公因式是零次多项式,那么称?(x)与g(x)是互素的。最大公因式和互素概念都可以推广到几个多项式的情形。

  如果F[x]中的一个次数不小于1的多项式?(x),不能表成 F[x] 中的两个次数较低的多项式的乘积,那么称?(x)是F上的一个不可约多项式。

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