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微分学求极值的方法为什么不适用于线性规划的求解

归档日期:05-29       文本归类:多项式时间      文章编辑:爱尚语录

  求解线性规划问题的基本方法是单纯形法,已有单纯形法的标准软件,可在电子计算机上求解约束条件和决策变量数达10000个以上的线性规划问题。为了提高解题速度,又有改进单纯形法、对偶单纯形法、原始对偶方法、分解算法和各种多项式时间算法。对于只有两个变量的简单的线性规划问题,也可采用图解法求解。这种方法仅适用于只有两个变量的线性规划问题。它的特点是直观而易于理解,但实用价值不大。通过图解法求解可以理解线性规划的一些基本概念。对于一般线性规划问题:Minz=CXS.T.AX=bX=0其中A为一个m*n矩阵。若A行满秩则可以找到基矩阵B,并寻找初始基解。用N表示对应于B的非基矩阵。则规划问题1可化为:规划问题2:Minz=CBXB+CNXNS.T.BXB+NXN=b(1)XB=0,XN=0(2)(1)两边同乘于B-1,得XB+B-1NXN=B-1b同时,由上式得XB=B-1b-B-1NXN,也代入目标函数,问题可以继续化为:规划问题3:Minz=CBB-1b+(CN-CBB-1N)XNS.T.XB+B-1NXN=B-1b(1)XB=0,XN=0(2)令N:=B-1N,b:=B-1b,ζ=CBB-1b,σ=CN-CBB-1N,则上述问题化为规划问题形式4:Minz=ζ+σXNS.T.XB+NXN=b(1)XB=0,XN=0(2)在上述变换中,若能找到规划问题形式4,使得b=0,称该形式为初始基解形式。上述的变换相当于对整个扩展矩阵(包含C及A)乘以增广矩阵。所以重在选择B,从而找出对应的CB。若存在初始基解若σ=0则z=ζ。同时,令XN=0,XB=b,这是一个可行解,且此时z=ζ,即达到最优值。所以,此时可以得到最优解。若σ=0不成立可以采用单纯形表变换。σ中存在分量=0,且TPj=ei(其中,ei表示第i个单位向量),需要:lai,j0。lβq+βi*(-aq,j/ai,j)=0,其中q!=i。即βq=βi/ai,j*aq,j。n若aq,j0,则需要βq/aq,j=βi/ai,j。因此,要选择i使得βi/ai,j最小。如果这种方法确定了多个下标,选择下标最小的一个。转换后得到规划问题4的形式,继续对σ进行判断。由于基解是有限个,因此,一定可以在有限步跳出该循环。若对于每一个i,ai,j=0最优值无解。若不能寻找到初始基解无解。若A不是行满秩化简直到A行满秩,转到若A行满秩。

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