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怎么证明负载调度算法是np-hard问题

归档日期:05-08       文本归类:多项式时间      文章编辑:爱尚语录

  在计算机学科中,存在多项式时间的算法的一类问题,称之为P类问题;而像梵塔问题、推销员旅行问题、(命题表达式)可满足问题这类,至今没有找到多项式时间算法解的一类问题,称之为NP类问题。

  多项式时间(Polynomial time)在计算复杂度理论中,指的是一个问题的计算时间m(n)不大于问题大小n的多项式倍数。任何抽象机器都拥有一复杂度类,此类包括可于此机器以多项式时间求解的问题。

  以数学描述的话,则可说m(n) = O(n),此n为一常数值(依问题而定)

  拿推销员旅行问题为例,假设推销员亨利有向6个城市推销公司产品的任务,并规定了一个旅行预算。他手中有一张航班票价表,他要从A城开始走遍图中的6个城市后返回A城,并且不超出预算,请你帮他找出应走的路线。如果给出的预算宽裕,则任务很简单;如果预算比较紧张,你就得认真设计路线了。你得考虑每一种可能的次序,以使旅费最少。

  而NP问题中最困难的问题称之为NP完全问题(NP-complete),已经证明的包括:电话网络的最优几何设计、格子棋的最佳走法。根据库克定理,任意一个NP完全问题如果能够在多项式时间内解决,则所有的NP问题都能在多项式时间内解决,而至今这一问题仍无答案。

  什么是非确定性问题呢?有些计算问题是确定性的,比如加减乘除之类,你只要按照公式推导,按部就班一步步来,就可以得到结果。但是,有些问题是无法按部就班直接地计算出。比如,找大质数的问题。有没有一个公式,你一套公式,就可以一步步推算出来,下一个质数应该是多少呢?这样的公式是没有的。再比如,大的合数分解质因数的问题,有没有一个公式,把合数代进去,就直接可以算出,它的因子各自是多少?也没有这样的公式。

  这种问题的答案,是无法直接计算得到的,只能通过间接的“猜算”来得到结果。这也就是非确定性问题。而这些问题的通常有个算法,它不能直接告诉你答案是什么,但可以告诉你,某个可能的结果是正确的答案还是错误的。这个可以告诉你“猜算”的答案正确与否的算法,假如可以在多项式时间(多项式时间: 运行时间最多是输入量的多项式函数)内算出来,就叫做多项式非确定性问题。而如果这个问题的所有可能答案,都是可以在多项式时间内进行正确与否的验算的话,就叫完全多项式非确定问题。

  完全多项式非确定性问题可以用穷举法得到答案,一个个检验下去,最终便能得到结果。但是这样算法的复杂程度,是指数关系,因此计算的时间随问题的复杂程度成指数的增长,很快便变得不可计算了。人们发现,所有的完全多项式非确定性问题,都可以转换为一类叫做满足性问题的逻辑运算问题。既然这类问题的所有可能答案,都可以在多项式时间内计算,人们於是就猜想,是否这类问题,存在一个确定性算法,可以在指数时间内,直接算出或是搜寻出正确的答案呢?这就是著名的NP=P?的猜想。

  解决这个猜想,无非两种可能,一种是找到一个这样的算法,只要针对某个特定NP完全问题找到一个算法,所有这类问题都可以迎刃而解了,因为他们可以转化为同一个问题。另外的一种可能,就是这样的算法是不存在的。那么就要从数学理论上证明它为什么不存在。

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